DEFINICIÓN DE NÚMEROS REALES:

Un numero es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).

El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

Más concretamente nos encontramos con el hecho de que los números reales se clasifican en números racionales e irracionales. En el primer grupo se encuentran a su vez dos categorías: los enteros, que se dividen en tres grupos (naturales, 0, enteros negativos), y los fraccionarios, que se subdividen en fracción propia y en fracción impropia. Todo ello sin olvidar que dentro de los citados naturales también hay tres variedades: uno, naturales primos y naturales compuestos.

En el segundo gran grupo anteriormente citado, el de los números irracionales, nos encontramos a su vez que existen en su seno dos clasificaciones: irracionales algebraicos e intrascendentes.

Dentro de la Ingeniería se hace especialmente uso de los citados números reales y en ella se parte de una serie de ideas claramente delimitadas como serían las siguientes: los números reales son la suma de los racionales y los irracionales, el conjunto de los reales puede definirse como un conjunto ordenado y este se puede representar mediante una recta en la que cada punto de la misma representa a un número concreto.

Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales (aquí aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).

Esto supone que con los mencionados números reales podamos acometer operaciones tales como las sumas (interna, asociativa, conmutativa, de elemento opuesto, de elemento neutro…) o las multiplicaciones. En este último caso habría que subrayar que en lo que respecta a la multiplicación de los signos de los números el resultado sería el siguiente: + por + equivale a +; – por – es igual a +; – por + da como resultado -; y + por – es igual a -.

Sucesion geometrica: Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos

Así, ${\displaystyle 5,15,45,135,405,...\,}$ es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo ${\displaystyle a_{n}\,}$ el término en cuestión, ${\displaystyle a_{1}\,}$ el primer término y ${\displaystyle r}$, la razón:

En el ejemplo anterior, el cuarto elemento de la serie es:

Para obtener la razón en una progresión geométrica lo más sencillo es dividir un término cualquiera entre el término anterior, o sea:

SUCESIONES SIMÉTRICAS Y ASIMETRICAS

Una función f es simétrica si al doblar su gráfica por un eje de simetría ésta se superpone.

Existen dos tipos de simetrías:

1. Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares).
2. Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares).

Estudiar si la función es simétrica se llama estudio de la simetría o, al tratarse de funciones pares o impares, estudio de la paridad.

Las funciones que no son simétricas son asimétricas.

Funciones pares

Una función par es una función simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Es decir, si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas encima de la otra parte, la gráfica se solaparía.

Las funciones pares son las que cumplen que las imágenes del opuesto de un elemento (-x) y la imagen de este elemento (x) coinciden, es decir:

Funciones impares

Método de estudio de la simetría

1. Si f(-x) = f(x), entonces la función es par y simétrica respecto al eje de ordenadas OY.

1. Si por el contrario f(-x) = –f(x), entonces la función es impar y simétrica respecto al origen O.

1. En el caso de que no se cumplan ninguna de las dos anteriores hipótesis, la función es asimétrica.

Ejemplos
Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Una función impar es una función simétrica respecto al origen O. Si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas (OY) y después de nuevo por el eje de abscisas (OX), la gráfica se solaparía.

En las funciones impares se cumple que la imagen del opuesto de un elemento (-x) es la imagen opuesta de dicho elemento (x), es decir:

Para estudiar la simetría debemos de estudiar cual es la imagen de –x.

Sea la función f(-x) = x⁴-3x². Vamos a estudiar la simetría de la función evaluando f(-x).

Vemos que f(-x) = f(x), por lo que f es una función par.

Ahora tenemos la función f(-x) = x³-4x. Análogamente, estudiamos la simetría:

En este caso, f(-x) = –f(x), siendo la función simétrica impar.

Por último, ahora tenemos la función f(-x) = x³-4x²+3. Estudiemos la simetría evaluando f(-x).

No se cumplen ninguna de las dos condiciones, por lo tanto la función es asimétrica.

Valor absoluto de un números entero

Valor absoluto de un número real
Propiedades del valor absoluto
Función valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x  (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2)  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

D= 

D=

Notación intervalo

La notación intervalo es una forma de escribir subconjuntos de la recta númerica real.

Un intervalo cerrado es aquel que incluye sus puntos finales: por ejemplo, el conjunto {x | –3  x  1}.

Para escribir este intervalo en notación intervalo, usamos corchetes cerrados [ ]:

[ –3, 1]

Un intervalo abierto es aquel que no incluye sus puntos finales: por ejemplo, {x | –3  x  1}.

Para escribir este intervalo en notación intervalo, use paréntesis:

( –3, 1)

También puede tener intervalos que son mitad abiertos y mitad cerrados:

[ –2, 4)

También puede usar la notación intervalo junto con el conjunto operador unión para ecribir subconjuntos de la recta numérica hechos de más de un intervalo:

Perímetro y área

10 cm

10 cm

Perímetro = 10 cm + 5 cm + 10 cm + 5 cm  = 30 cm

Perímetro = 4 m + 4 m + 4 m  = 12 m

Área = base · altura

10 cm	La altura de este rectángulo mide 5 cm.
10 cm	La base de este rectángulo mide 10 cm.

Área = 10 · 5 = 50 cm2

El centímetro cuadrado (cm2) es una unidad que nos permite medir áreas. También pueden ser metros cuadrados (m2), milímetros cuadrados (mm2), etc.

Perímetro: es la suma de los lados de una figura geométrica. Es su contorno.

Ejemplos:

Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm. y 5 cm.

El perímetro del rectángulo lo obtenemos sumando todos sus lados:

Por lo tanto, el perímetro del rectángulo es 30 cm.

Respecto al cuadrado, el perímetro (la longitud de su contorno) se obtiene sumando sus cuatro lados

En la figura, los lados del triángulo miden 4 m.

 Para obtener el perímetro sumamos sus lados:

El perímetro del triángulo es 12 m

Área: es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior.

Área de un rectángulo

El área del rectángulo corresponde a la medida de la región verde, y se obtiene multiplicando la base por la altura.

Ejemplo:

Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm. y 5 cm.

el área del rectángulo es 50 cm²

Área del cuadrado

El área de un cuadrado es igual al producto de lado por lado.

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual a la mitad de su base por la altura.

Ejemplos:

Si la base de un triángulo mide 10 cm y su altura mide 5 cm., entonces el área del triángulo es 25 cm²

El teorema de Pitágoras

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
 
• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración: 

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. 

El área de este cuadrado será (b+c)².

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): 

más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:
Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

FUNCIÓN LINEALUna función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)
Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales
f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11
Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14
Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.
g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7
Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4
Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.
h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4
Si  x= 98   entonces h(98) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.
Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

Ahora veamos como graficar una función.
z EjemplosRepresenta gráficamente las siguientes funciones lineales  y = 2x  y  y = - 3x + 4

Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta.

Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla. 
1.       y = 2xVamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.
       Para x = - 2, y = 2(-2) = -4  quedando la pareja (-2 , -4)       Para x =  1,  y = 2(1)  =  2   quedando la pareja (1 , 2)

X	y = 2x
-2	-4
-1	-2
0	0
1	2
2	4

2.       y = - 3x + 4Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.       Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 =  7  quedando la pareja (-1 , 7)       Para x =  2,  y = -3(2) + 4 = -2   quedando la pareja (2 , -2)

X	y = - 3x + 4
-1	7
0	4
1	1
2	-2
3	-5

ASIMÉTRICAS