FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c

donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax 2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola .

Parábola del puente, una función cuadrática.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática .

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) :

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x , los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0 .

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0 .

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas) .

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante , ya visto en las ecuaciones cuadráticas .

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero , por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c) .

Veamos:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

 

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

 

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.Eje de simetría o simetría

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría .

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.

Su ecuación está dada por:

 

Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x , asociada a la parábola.

De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

Vértice

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría  y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función,  según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante )

NUMERO PI:

El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro Π = L/D. Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, tiene infinitas cifras decimales. Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo), A lo largo de la historia, a este ilustre guarismo se le han asignado diversas cantidades. En la Biblia aparece con el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios le otorgaban 4(8/9)²; y en China 3,1724. Sin embargo fue en Grecia donde la correspondencia entre el radio y la longitud de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más insignes enigmas a resolver. Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo. Euclides precisa en sus Elementos, los pasos al límite necesarios y investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.

Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es el la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.En el siglo XVIII Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, naturalista francés, ideó un ingenioso método. llamado "La aguja de Buffon" que relaciona el número pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie rayada.Buffon demostró que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D (se puede repetir el cálculo utilizando un suelo de baldosas y una aguja), la probabilidad de que la aguja corte a una línea es:

Con un gran número de tiradas, se consigue un valor aceptable de Π

Conforme se han desarrollado las matemáticas, en sus diversas ramas, álgebra, cálculo, etc, se han ido construyendo distintos artificios que permiten afinar cada vez más su valor. Uno de los casos más curiosos de la historia fue el del matemático inglés William Shanks, quien luego de un trabajo que le demandó casi veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desgraciadamente, Shanks incurrió en un error en el 528º decimal, y a partir de éste están todos mal.

Existen vías alternativas para calcular Π. Por ejemplo, podemos utilizar el periodo de un péndulo para realizar una estimación o usar procedimientos estadísticos. El sistema que se propone es parecido al del conde de Buffon, basado en la probabilidad.

Supongamos una circunferencia de radio 1, inscrito en un cuadrado Si creamos aleatoriamente pares de números (x,y) comprendidos entre cero y uno, si 1 ³ x² + y² el punto generado por x e y estará dentro del círculo mientras que si x² + y² ³ 1 los puntos estarán lógicamente en el cuadrado pero fuera del redondel. La probabilidad de que los puntos se hallen dentro de la circunferencia estará dada por la relación entre el área del círculo Π1² y la superficie del cuadrado (2²). Con una serie significativa de repeticiones la proporción entre los que caen en el círculo y fuera de él tiende a Π/4, y así obtenemos el valor de Π de una forma estadística.

EL NUMERO DE ORO:

El número de oro, también conocido como razón áurea suele representarse con la letra griega (f) en honor de Fidias, el arquitecto que diseñó el Partenón. Tiene como valor numérico:

 

El descubrimiento de este número se atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los pitagóricos utilizaban como símbolo la estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones áureas.

Es fácil encontrar distintas proporciones áureas en diversas figuras. Este número aparece repetidamente en el mundo que nos rodea, como elemento de diseño en construcciones arquitectónicas tan antiguas como la pirámide de Keops, o en distintos seres vivos, tanto en el reino vegetal (flores, semillas,...) como en el reino animal (estrellas de mar, caracolas que crecen en función de relaciones áureas,...)

Leonardo da Vinci en su "Esquema de las proporciones del cuerpo humano" señala distintas relaciones áureas que existen en el ser humano.

                                 

Cuando la razón entre las dimensiones de un rectángulo es el número de oro, el rectángulo recibe el nombre de áureo. Los rectángulos áureos, son proporcionados, y por eso se utilizan frecuentemente en el arte.

EL NUMERO EULER El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas. Las primeras cifras son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...) Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier). Por otra parte los logaritmos comunes tienen base 10.

Calcularlo

n (1 + 1/n)n 1 2,00000 2 2,25000 5 2,48832 10 2,59374 100 2,70481 1.000 2,71692 10.000 2,71815 100.000 2,71827

El valor de (1 + 1/n)ⁿ se aproxima a e cuanto más grande es n:

El valor de e también es igual a to 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ... (etc)

(Nota: "!" significa factorial)

Los primeros términos suman: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2,718055556

DONDE: Muchas veces el número e aparece donde no se lo espera.

Por ejemplo, da el valor del interés compuesto continuo (que se usa en préstamos e inversiones):

Fórmula del interés compuesto continuo

también es un numero transcendental .

Un sistema de coordenadas cartesianas lo forman dos ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.

Ejes de coordenadas

Al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o ejes cartesianos.

El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.

El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.

La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

Signos

	Abscisa	Ordenada
1ercuadrante	+	+
2º cuadrante	−	+
3ercuadrante	−	−
4º cuadrante	+	−

El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0).

Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0.

Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.

Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.

Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa.

A(1, 4), B(-3, 2), C(0, 5), D(-4, -4), E(-5, 0), F(4, -3), G(4, 0), H(0, -2)

OPERACIONES CON RADICALES:

Las raíces que se encuentran dentro del signo radical pueden realizar operaciones entre sí.

Pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse si cumplen con determinadas condiciones o reglas.

Suma y resta de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes; es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando (o base subradical).

(Ver: Suma y resta de radicales )

(Ver: Operaciones combinadas )

Producto o multiplicación de radicales

Multiplicar radicales del mismo índice

Se multiplican los radicando (las bases) y se conserva el índice

Multiplicar radicales de distinto índice:

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

(Ver: Producto o multiplicación de radicales)

Cociente o división de radicales

Dividir radicales del mismo índice

Se dividen los radicando (las bases) y se conserva el índice

Dividir radicales de distinto índice:

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

(Ver: División de radicales )

Potencia de radicales

Raíz de un radical

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.

Ejemplo:

Racionalizar

Consiste en quitar los radicales del denominador , lo cual facilita el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. 
Podemos distinguir tres casos, para eliminar los radicales del denominador.

a)  Se multiplican el numerador y el denominador por 

. 
b)  Se multiplican el numerador y el denominador por 

 .

c) 

y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical, se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado es la misma expresión pero con signo contrario.

Dominio e Imagen

DOMINIO E IMAGEN:

El conjunto de partida o el  conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente (la llamamos x), es el dominio de la función.

El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y o f(x)) se llama a imagen, rango o recorrido de la función, está incluido en el conjunto de llegada.

 

a) El dominio está determinado por {a, b, c} .   El conjunto imagen (incluído en el conjunto de llegada) es {1,2}.

b) El dominio está determinado por {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} .   El conjunto imagen es {-2, -1, 1, 2, 3, 4}.

c) El dominio está determinado por el intervalo de números reales desde el -2 al 5, se escribe: [-2;5] .   El conjunto imagen va desde el -2 al 1,5 y se escribe [-2; 1,5].

DEFINICIÓN DE NÚMEROS REALES:

Un numero es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).

El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

Más concretamente nos encontramos con el hecho de que los números reales se clasifican en números racionales e irracionales. En el primer grupo se encuentran a su vez dos categorías: los enteros, que se dividen en tres grupos (naturales, 0, enteros negativos), y los fraccionarios, que se subdividen en fracción propia y en fracción impropia. Todo ello sin olvidar que dentro de los citados naturales también hay tres variedades: uno, naturales primos y naturales compuestos.

En el segundo gran grupo anteriormente citado, el de los números irracionales, nos encontramos a su vez que existen en su seno dos clasificaciones: irracionales algebraicos e intrascendentes.

Dentro de la Ingeniería se hace especialmente uso de los citados números reales y en ella se parte de una serie de ideas claramente delimitadas como serían las siguientes: los números reales son la suma de los racionales y los irracionales, el conjunto de los reales puede definirse como un conjunto ordenado y este se puede representar mediante una recta en la que cada punto de la misma representa a un número concreto.

Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales (aquí aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).

Esto supone que con los mencionados números reales podamos acometer operaciones tales como las sumas (interna, asociativa, conmutativa, de elemento opuesto, de elemento neutro…) o las multiplicaciones. En este último caso habría que subrayar que en lo que respecta a la multiplicación de los signos de los números el resultado sería el siguiente: + por + equivale a +; – por – es igual a +; – por + da como resultado -; y + por – es igual a -.

Sucesion geometrica: Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos

Así, ${\displaystyle 5,15,45,135,405,...\,}$ es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo ${\displaystyle a_{n}\,}$ el término en cuestión, ${\displaystyle a_{1}\,}$ el primer término y ${\displaystyle r}$, la razón:

En el ejemplo anterior, el cuarto elemento de la serie es:

Para obtener la razón en una progresión geométrica lo más sencillo es dividir un término cualquiera entre el término anterior, o sea:

SUCESIONES SIMÉTRICAS Y ASIMETRICAS

Una función f es simétrica si al doblar su gráfica por un eje de simetría ésta se superpone.

Existen dos tipos de simetrías:

1. Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares).
2. Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares).

Estudiar si la función es simétrica se llama estudio de la simetría o, al tratarse de funciones pares o impares, estudio de la paridad.

Las funciones que no son simétricas son asimétricas.

Funciones pares

Una función par es una función simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Es decir, si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas encima de la otra parte, la gráfica se solaparía.

Las funciones pares son las que cumplen que las imágenes del opuesto de un elemento (-x) y la imagen de este elemento (x) coinciden, es decir:

Funciones impares

Método de estudio de la simetría

1. Si f(-x) = f(x), entonces la función es par y simétrica respecto al eje de ordenadas OY.

1. Si por el contrario f(-x) = –f(x), entonces la función es impar y simétrica respecto al origen O.

1. En el caso de que no se cumplan ninguna de las dos anteriores hipótesis, la función es asimétrica.

Ejemplos
Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Una función impar es una función simétrica respecto al origen O. Si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas (OY) y después de nuevo por el eje de abscisas (OX), la gráfica se solaparía.

En las funciones impares se cumple que la imagen del opuesto de un elemento (-x) es la imagen opuesta de dicho elemento (x), es decir:

Para estudiar la simetría debemos de estudiar cual es la imagen de –x.

Sea la función f(-x) = x⁴-3x². Vamos a estudiar la simetría de la función evaluando f(-x).

Vemos que f(-x) = f(x), por lo que f es una función par.

Ahora tenemos la función f(-x) = x³-4x. Análogamente, estudiamos la simetría:

En este caso, f(-x) = –f(x), siendo la función simétrica impar.

Por último, ahora tenemos la función f(-x) = x³-4x²+3. Estudiemos la simetría evaluando f(-x).

No se cumplen ninguna de las dos condiciones, por lo tanto la función es asimétrica.

Valor absoluto de un números entero

Valor absoluto de un número real
Propiedades del valor absoluto
Función valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x  (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2)  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

D= 

D=

Notación intervalo

La notación intervalo es una forma de escribir subconjuntos de la recta númerica real.

Un intervalo cerrado es aquel que incluye sus puntos finales: por ejemplo, el conjunto {x | –3  x  1}.

Para escribir este intervalo en notación intervalo, usamos corchetes cerrados [ ]:

[ –3, 1]

Un intervalo abierto es aquel que no incluye sus puntos finales: por ejemplo, {x | –3  x  1}.

Para escribir este intervalo en notación intervalo, use paréntesis:

( –3, 1)

También puede tener intervalos que son mitad abiertos y mitad cerrados:

[ –2, 4)

También puede usar la notación intervalo junto con el conjunto operador unión para ecribir subconjuntos de la recta numérica hechos de más de un intervalo:

Perímetro y área

10 cm

10 cm

Perímetro = 10 cm + 5 cm + 10 cm + 5 cm  = 30 cm

Perímetro = 4 m + 4 m + 4 m  = 12 m

Área = base · altura

10 cm	La altura de este rectángulo mide 5 cm.
10 cm	La base de este rectángulo mide 10 cm.

Área = 10 · 5 = 50 cm2

El centímetro cuadrado (cm2) es una unidad que nos permite medir áreas. También pueden ser metros cuadrados (m2), milímetros cuadrados (mm2), etc.

Perímetro: es la suma de los lados de una figura geométrica. Es su contorno.

Ejemplos:

Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm. y 5 cm.

El perímetro del rectángulo lo obtenemos sumando todos sus lados:

Por lo tanto, el perímetro del rectángulo es 30 cm.

Respecto al cuadrado, el perímetro (la longitud de su contorno) se obtiene sumando sus cuatro lados

En la figura, los lados del triángulo miden 4 m.

 Para obtener el perímetro sumamos sus lados:

El perímetro del triángulo es 12 m

Área: es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior.

Área de un rectángulo

El área del rectángulo corresponde a la medida de la región verde, y se obtiene multiplicando la base por la altura.

Ejemplo:

Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm. y 5 cm.

el área del rectángulo es 50 cm²

Área del cuadrado

El área de un cuadrado es igual al producto de lado por lado.

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual a la mitad de su base por la altura.

Ejemplos:

Si la base de un triángulo mide 10 cm y su altura mide 5 cm., entonces el área del triángulo es 25 cm²

El teorema de Pitágoras

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
 
• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración: 

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. 

El área de este cuadrado será (b+c)².

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): 

más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:
Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

FUNCIÓN LINEALUna función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)
Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales
f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11
Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14
Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.
g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7
Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4
Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.
h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4
Si  x= 98   entonces h(98) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.
Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

Ahora veamos como graficar una función.
z EjemplosRepresenta gráficamente las siguientes funciones lineales  y = 2x  y  y = - 3x + 4

Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta.

Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla. 
1.       y = 2xVamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.
       Para x = - 2, y = 2(-2) = -4  quedando la pareja (-2 , -4)       Para x =  1,  y = 2(1)  =  2   quedando la pareja (1 , 2)

X	y = 2x
-2	-4
-1	-2
0	0
1	2
2	4

2.       y = - 3x + 4Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.       Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 =  7  quedando la pareja (-1 , 7)       Para x =  2,  y = -3(2) + 4 = -2   quedando la pareja (2 , -2)

X	y = - 3x + 4
-1	7
0	4
1	1
2	-2
3	-5

ASIMÉTRICAS