FUNCIÓN CUADRÁTICA:
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax 2 + bx + c
donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax 2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .
Representación gráfica de una función cuadrática
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola .
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| Parábola del puente, una función cuadrática. |
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática .
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) :
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x , los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0 .
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0 .
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas) .
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero , por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c) .
Veamos:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3
Representar la función f(x) = x² − 4x − 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría .
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x , asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría 
y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, 
según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante )
NUMERO PI:
El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro Π = L/D. Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, tiene infinitas cifras decimales. Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo), A lo largo de la historia, a este ilustre guarismo se le han asignado diversas cantidades. En la Biblia aparece con el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios le otorgaban 4(8/9)²; y en China 3,1724. Sin embargo fue en Grecia donde la correspondencia entre el radio y la longitud de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más insignes enigmas a resolver. Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo. Euclides precisa en sus Elementos, los pasos al límite necesarios y investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.
Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es el la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.En el siglo XVIII Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, naturalista francés, ideó un ingenioso método. llamado "La aguja de Buffon" que relaciona el número pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie rayada.Buffon demostró que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D (se puede repetir el cálculo utilizando un suelo de baldosas y una aguja), la probabilidad de que la aguja corte a una línea es:
Con un gran número de tiradas, se consigue un valor aceptable de Π
Conforme se han desarrollado las matemáticas, en sus diversas ramas, álgebra, cálculo, etc, se han ido construyendo distintos artificios que permiten afinar cada vez más su valor. Uno de los casos más curiosos de la historia fue el del matemático inglés William Shanks, quien luego de un trabajo que le demandó casi veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desgraciadamente, Shanks incurrió en un error en el 528º decimal, y a partir de éste están todos mal.
Existen vías alternativas para calcular Π. Por ejemplo, podemos utilizar el periodo de un péndulo para realizar una estimación o usar procedimientos estadísticos. El sistema que se propone es parecido al del conde de Buffon, basado en la probabilidad.
Supongamos una circunferencia de radio 1, inscrito en un cuadrado Si creamos aleatoriamente pares de números (x,y) comprendidos entre cero y uno, si 1 ³ x2 + y2 el punto generado por x e y estará dentro del círculo mientras que si x2 + y2 ³ 1 los puntos estarán lógicamente en el cuadrado pero fuera del redondel. La probabilidad de que los puntos se hallen dentro de la circunferencia estará dada por la relación entre el área del círculo Π12 y la superficie del cuadrado (22). Con una serie significativa de repeticiones la proporción entre los que caen en el círculo y fuera de él tiende a Π/4, y así obtenemos el valor de Π de una forma estadística.
EL NUMERO DE ORO:
El número de oro, también conocido como razón áurea suele
representarse con la letra griega (f) en honor de Fidias, el arquitecto que
diseñó el Partenón. Tiene como valor numérico:
El descubrimiento de este número se atribuye a la escuela
Pitagórica, de hecho los pitagóricos utilizaban como símbolo la estrella de
cinco puntas, en la que aparecen distintas razones áureas.
Es fácil encontrar distintas proporciones áureas en diversas
figuras. Este número aparece repetidamente en el mundo que nos rodea, como
elemento de diseño en construcciones arquitectónicas tan antiguas como la
pirámide de Keops, o en distintos seres vivos, tanto en el reino vegetal
(flores, semillas,...) como en el reino animal (estrellas de mar, caracolas que
crecen en función de relaciones áureas,...)
Leonardo da Vinci en su "Esquema de las proporciones
del cuerpo humano" señala distintas relaciones áureas que existen en el
ser humano.
Cuando la razón entre las dimensiones de un rectángulo es el
número de oro, el rectángulo recibe el nombre de áureo. Los rectángulos áureos,
son proporcionados, y por eso se utilizan frecuentemente en el arte.
EL NUMERO EULER
El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas.
Las primeras cifras son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler
e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier). Por otra parte los logaritmos comunes tienen base 10.
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Calcularlo
| n | (1 + 1/n)n |
|---|
| 1 | 2,00000 |
| 2 | 2,25000 |
| 5 | 2,48832 |
| 10 | 2,59374 |
| 100 | 2,70481 |
| 1.000 | 2,71692 |
| 10.000 | 2,71815 |
| 100.000 | 2,71827 |
| |  |
El valor de (1 + 1/n)n se aproxima a e cuanto más grande es n:
El valor de e también es igual a to 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ... (etc)
Los primeros términos suman: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2,718055556
DONDE: Muchas veces el número e aparece donde no se lo espera.
Fórmula del interés compuesto continuo
también es un numero transcendental .
Un sistema de coordenadas cartesianas lo forman dos ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.
Ejes de coordenadas
Al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o ejes cartesianos.
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.
Signos
| | Abscisa | Ordenada |
|---|
| 1ercuadrante | + | + |
|---|
| 2º cuadrante | − | + |
|---|
| 3ercuadrante | − | − |
|---|
| 4º cuadrante | + | − |
|---|
El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0).
Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0.
Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.
Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.
Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa.
A(1, 4), B(-3, 2), C(0, 5), D(-4, -4), E(-5, 0), F(4, -3), G(4, 0), H(0, -2)
OPERACIONES CON RADICALES:
Las raíces que se encuentran dentro del signo radical pueden realizar operaciones entre sí.
Pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse si cumplen con determinadas condiciones o reglas.
Suma y resta de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes; es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando (o base subradical).
Producto o multiplicación de radicales
Multiplicar radicales del mismo índice
Se multiplican los radicando (las bases) y se conserva el índice
Multiplicar radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente o división de radicales
Dividir radicales del mismo índice
Se dividen los radicando (las bases) y se conserva el índice
Dividir radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Raíz de un radical
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
Ejemplo:
Consiste en quitar los radicales del denominador , lo cual facilita el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos, para eliminar los radicales del denominador.
a) 
Se multiplican el numerador y el denominador por 
. b) 
Se multiplican el numerador y el denominador por 
.
c)
y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical, se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado es la misma expresión pero con signo contrario.
Dominio e Imagen
DOMINIO E IMAGEN:
El conjunto de partida o el conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente (la llamamos x), es el dominio de la función.
El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y o f(x)) se llama a imagen, rango o recorrido de la función, está incluido en el conjunto de llegada.
a) El dominio está determinado por {a, b, c} . El conjunto imagen (incluído en el conjunto de llegada) es {1,2}.
b) El dominio está determinado por {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} . El conjunto imagen es {-2, -1, 1, 2, 3, 4}.
c) El dominio está determinado por el intervalo de números reales desde el -2 al 5, se escribe: [-2;5] . El conjunto imagen va desde el -2 al 1,5 y se escribe [-2; 1,5].
C = 
B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y
P(A) 
